Méthodologie de résolution d'exercices de mathématiques : les méthodes qui fonctionnent
Face à un exercice de mathématiques, beaucoup d'élèves se sentent perdus et ne savent pas par où commencer. Pourtant, il existe des méthodes systématiques qui permettent de résoudre efficacement la grande majorité des exercices. Voici une méthodologie complète, étape par étape.
Pourquoi une méthodologie est-elle essentielle ?
Les mathématiques ne sont pas une matière où l'on peut se contenter de "sentir" la solution. Une approche structurée permet de :
- Gagner du temps : En suivant une méthode claire, vous évitez de tourner en rond
- Réduire le stress : Savoir par où commencer diminue l'anxiété face à l'exercice
- Augmenter vos chances de réussite : Une méthode systématique couvre tous les aspects de la résolution
- Améliorer votre rédaction : Une approche structurée produit naturellement une rédaction claire
Selon une étude menée par l'Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques (IREM), les élèves qui appliquent une méthodologie systématique obtiennent en moyenne 2 à 3 points de plus que ceux qui abordent les exercices de manière intuitive1.
La méthode en deux questions fondamentales
Avant de commencer à écrire quoi que ce soit, posez-vous systématiquement ces deux questions :
Question 1 : Qui est l'inconnu de la question ?
Identifier clairement ce que l'on cherche est la première étape. L'inconnu peut être :
- Une valeur numérique (x = ?)
- Une expression à simplifier ou à transformer
- Une propriété à démontrer
- Un ensemble de solutions
- Une limite, une dérivée, une intégrale
Question 2 : Quelle partie du cours va me permettre d'y arriver ?
Une fois l'inconnu identifié, déterminez quel théorème, quelle formule, quelle méthode du cours s'applique. Cette étape est cruciale car elle oriente toute votre stratégie de résolution.
Exemple concret : Si l'exercice demande de "résoudre l'équation x² - 5x + 6 = 0", l'inconnu est clairement la valeur de x, et la partie du cours concernée est celle sur les équations du second degré (discriminant, formules).
La méthode complète en 6 étapes
Étape 1 : Lire et comprendre l'énoncé
Ne pas sauter cette étape ! Lisez l'énoncé au moins deux fois :
- Première lecture : Pour avoir une vue d'ensemble
- Deuxième lecture : Pour identifier les données, les conditions et les questions
- Surlignez ou notez : Les données importantes, les conditions (x > 0, n ∈ ℕ, etc.), les questions
Étape 2 : Identifier l'inconnu et le type de question
Appliquez la première question fondamentale : qui est l'inconnu ? Puis identifiez le type de question :
- "Calculer" → On cherche une valeur numérique ou une expression simplifiée
- "Montrer que" / "Démontrer que" → On doit prouver une égalité ou une propriété
- "Résoudre" → On cherche toutes les solutions d'une équation ou inéquation
- "Étudier" → On doit analyser les variations, limites, etc.
- "En déduire" → On doit utiliser un résultat précédent
Étape 3 : Identifier la partie du cours concernée
Appliquez la deuxième question fondamentale : quelle partie du cours va me permettre d'y arriver ?
Stratégie : Regardez les mots-clés dans l'énoncé :
- "Dérivée", "fonction dérivée" → Chapitre sur la dérivation
- "Limite", "tend vers" → Chapitre sur les limites
- "Probabilité", "événement" → Chapitre sur les probabilités
- "Vecteur", "colinéaire" → Chapitre sur les vecteurs
- "Équation", "inéquation" → Chapitre correspondant au degré
Étape 4 : Choisir la méthode de résolution
Selon le type de question identifié, choisissez la méthode appropriée. Nous détaillerons les méthodes spécifiques dans les sections suivantes.
Étape 5 : Rédiger la solution
Règles d'or de la rédaction mathématique :
- Introduire les variables : "Soit x un réel..."
- Justifier chaque étape : "D'après le théorème de Pythagore..."
- Utiliser des connecteurs logiques : "donc", "ainsi", "par conséquent", "or", "d'où"
- Conclure clairement : "On en déduit que x = 3"
- Vérifier les conditions : "Comme x > 0, la solution est valide"
Étape 6 : Vérifier et conclure
Avant de considérer l'exercice terminé :
- Vérifiez votre calcul : Recalculez mentalement ou avec une autre méthode
- Vérifiez les conditions : Les solutions respectent-elles les contraintes ?
- Vérifiez la cohérence : Le résultat est-il plausible ?
- Répondez à la question : Avez-vous bien répondu à ce qui était demandé ?
Les questions "Montrer que" : méthode spécifique
Les questions du type "Montrer que A = B" ou "Démontrer que..." nécessitent une approche particulière. Voici la méthode systématique :
Méthode pour "Montrer que A = B"
Stratégie 1 : Partir de A et arriver à B
Commencez par A, transformez-le étape par étape en justifiant chaque transformation, jusqu'à obtenir B.
Stratégie 2 : Partir de B et arriver à A
Si la stratégie 1 ne fonctionne pas, essayez de partir de B et d'arriver à A (cela revient au même).
Stratégie 3 : Montrer que A - B = 0
Parfois, il est plus simple de montrer que A - B = 0, ce qui équivaut à A = B.
Stratégie 4 : Montrer que A/B = 1 (si B ≠ 0)
Si A et B sont des expressions non nulles, montrer que A/B = 1 équivaut à A = B.
Exemple : Montrer que (a + b)² = a² + 2ab + b²
Solution :
On part de (a + b)² :
(a + b)² = (a + b)(a + b) (par définition du carré)
= a(a + b) + b(a + b) (distributivité)
= a² + ab + ba + b² (double distributivité)
= a² + 2ab + b² (car ab = ba)
Donc (a + b)² = a² + 2ab + b²
Les pièges à éviter
- Ne pas partir de la conclusion : Évitez d'écrire "A = B donc..." sans justification
- Justifier chaque étape : Chaque transformation doit être justifiée par une propriété, un théorème ou une définition
- Vérifier les conditions : Assurez-vous que les conditions d'application des théorèmes sont remplies
Les questions "En déduire" : méthode spécifique
Les questions "En déduire que..." ou "Déduire de ce qui précède..." indiquent que vous devez utiliser un résultat obtenu précédemment dans l'exercice. Voici comment procéder :
Méthode pour "En déduire"
Étape 1 : Identifier le résultat précédent à utiliser
Relisez les questions précédentes et identifiez quel résultat vous devez utiliser. C'est souvent le résultat de la question juste avant.
Étape 2 : Appliquer le résultat précédent
Utilisez explicitement le résultat précédent. Commencez par : "D'après la question précédente, on a..." ou "En utilisant le résultat de la question X..."
Étape 3 : Faire le lien avec la nouvelle question
Montrez comment le résultat précédent permet d'obtenir le nouveau résultat demandé. Cela peut nécessiter une substitution, une simplification, ou l'application d'une propriété supplémentaire.
Exemple concret
Question 1 : Montrer que pour tout x réel, f(x) = x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Question 2 : En déduire les solutions de l'équation f(x) = 0
Solution de la question 2 :
D'après la question précédente, on a f(x) = (x - 1)(x - 3) pour tout x réel.
On cherche x tel que f(x) = 0, c'est-à-dire (x - 1)(x - 3) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc x - 1 = 0 ou x - 3 = 0.
On en déduit que x = 1 ou x = 3.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de citer le résultat précédent : Le correcteur doit voir que vous utilisez la question précédente
- Refaire la démonstration : Si c'est demandé "en déduire", vous ne devez pas refaire tout le travail, mais utiliser le résultat
- Ne pas faire le lien : Montrez explicitement comment vous passez du résultat précédent au nouveau résultat
Méthodes spécifiques par type d'exercice
1. Résoudre une équation
Méthode systématique :
- Identifier le type d'équation (premier degré, second degré, trigonométrique, etc.)
- Mettre l'équation sous forme standard (ax + b = 0, ax² + bx + c = 0, etc.)
- Appliquer la méthode appropriée (formule, factorisation, substitution, etc.)
- Vérifier que les solutions respectent les conditions (dénominateur non nul, domaine de définition, etc.)
- Donner l'ensemble des solutions
2. Étudier une fonction
Méthode systématique :
- Déterminer le domaine de définition
- Calculer les limites aux bornes du domaine
- Calculer la dérivée
- Étudier le signe de la dérivée (tableau de signes)
- Dresser le tableau de variations
- Déterminer les extremums (maximums et minimums)
- Étudier les asymptotes si nécessaire
3. Calculer une probabilité
Méthode systématique :
- Identifier l'univers des possibles (Ω)
- Définir clairement l'événement dont on cherche la probabilité
- Déterminer si les événements sont équiprobables
- Choisir la méthode appropriée :
- Formule de probabilité : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
- Formule des probabilités conditionnelles : P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
- Formule de Bayes si nécessaire
- Arbre de probabilités pour les situations complexes
- Vérifier que 0 ≤ P(A) ≤ 1
4. Démontrer par récurrence
Méthode systématique :
- Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour le premier rang (généralement n = 0 ou n = 1)
- Hérédité : Supposer que la propriété est vraie au rang n (hypothèse de récurrence)
- Hérédité (suite) : Démontrer que la propriété est vraie au rang n + 1 en utilisant l'hypothèse de récurrence
- Conclusion : Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n
5. Résoudre un problème de géométrie
Méthode systématique :
- Faire une figure claire et soignée (si possible)
- Repérer les données de l'énoncé sur la figure
- Identifier ce qui est demandé
- Choisir le bon outil :
- Théorème de Pythagore (triangle rectangle)
- Théorème de Thalès (droites parallèles)
- Relations trigonométriques (sin, cos, tan)
- Propriétés des vecteurs (colinéarité, orthogonalité)
- Formules d'aires et de volumes
- Appliquer le théorème ou la formule choisie
- Conclure avec une phrase de réponse
Stratégies pour les exercices difficiles
1. La méthode "regarder la réponse"
Parfois, l'énoncé donne des indices sur la forme de la réponse attendue. Si on vous demande de montrer que quelque chose est égal à une expression donnée, partez de cette expression et essayez de la transformer pour retrouver l'expression de départ.
2. La méthode "cas particuliers"
Si vous êtes bloqué sur un exercice général, testez d'abord avec des valeurs numériques simples. Cela peut vous donner des indices sur la méthode à utiliser ou vous permettre de vérifier votre résultat final.
3. La méthode "analogie"
Cherchez des exercices similaires que vous avez déjà résolus. Souvent, la méthode utilisée dans un exercice peut s'adapter à un autre.
4. La méthode "par l'absurde"
Pour certaines démonstrations, il peut être plus simple de supposer que la propriété est fausse et de montrer que cela mène à une contradiction.
5. Ne pas rester bloqué trop longtemps
Si vous êtes bloqué sur une question pendant plus de 10 minutes :
- Passez à la question suivante (souvent, les questions s'enchaînent)
- Revenez-y plus tard avec un regard neuf
- Vérifiez que vous avez bien compris l'énoncé
- Essayez une autre approche
Les erreurs à éviter absolument
- Ne pas lire l'énoncé complètement : Beaucoup d'erreurs viennent d'une mauvaise compréhension de la question
- Oublier les conditions : Vérifiez toujours les conditions d'application (dénominateur non nul, domaine de définition, etc.)
- Ne pas justifier : Chaque étape doit être justifiée, surtout dans les démonstrations
- Confondre "montrer que" et "en déduire" : Ce sont deux types de questions différents avec des méthodes différentes
- Ne pas vérifier : Prenez le temps de vérifier votre résultat, surtout dans les calculs
- Rédaction bâclée : Une rédaction claire est essentielle pour obtenir tous les points
- Paniquer face à un exercice nouveau : Appliquez la méthode systématique, même si l'exercice semble difficile
Comment s'entraîner efficacement
Pour maîtriser cette méthodologie, l'entraînement est essentiel :
1. Appliquez systématiquement la méthode
Même pour des exercices qui vous semblent faciles, appliquez la méthode complète. Cela développera des automatismes qui vous serviront lors des examens.
2. Analysez vos erreurs
Après chaque exercice, identifiez à quelle étape vous avez fait une erreur. Cela vous permettra de cibler vos points faibles.
3. Variez les types d'exercices
Ne vous contentez pas d'un seul type d'exercice. Variez pour être capable d'appliquer la méthode dans toutes les situations.
4. Travaillez avec un professeur
Un professeur particulier peut vous aider à :
- Identifier vos erreurs récurrentes
- Vous guider dans l'application de la méthode
- Vous proposer des exercices adaptés à votre niveau
- Vous donner des retours immédiats sur votre rédaction
Récapitulatif : la méthode en 6 étapes
- 1 Lire et comprendre l'énoncé
Lisez au moins deux fois, surlignez les données importantes
- 2 Identifier l'inconnu et le type de question
Qui est l'inconnu ? Quel type de question (calculer, montrer, résoudre, etc.) ?
- 3 Identifier la partie du cours concernée
Quelle partie du cours va me permettre d'y arriver ?
- 4 Choisir la méthode de résolution
Selon le type de question, choisissez la méthode appropriée
- 5 Rédiger la solution
Rédigez clairement en justifiant chaque étape
- 6 Vérifier et conclure
Vérifiez vos calculs, les conditions, et répondez à la question
Références et sources
- Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques (IREM), "Méthodologie de résolution de problèmes", 2020
- Ministère de l'Éducation nationale, "Programmes de mathématiques - Collège et Lycée", 2019-2024
- Polya, G., "How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method", Princeton University Press, 1945
- Rapports du jury du baccalauréat, Ministère de l'Éducation nationale, 2020-2024
Besoin d'aide pour maîtriser cette méthodologie ?
En tant que professeur particulier de mathématiques, je peux vous aider à :
- Appliquer cette méthodologie sur des exercices concrets
- Identifier vos points faibles et les corriger
- Développer des automatismes pour les examens
- Améliorer votre rédaction mathématique
- Préparer efficacement le Brevet ou le Bac